本文目录一览：
- 1、20道一元二次方程带解答过程是什么？
- 2、一元二次方程的经典题型
- 3、直接开平方法解一元二次方程20道
- 4、20道用配方法解一元二次方程的题
- 5、求解一元二次方程有4种解法例题 每种方法5个例题（解一元二次方程：简单的，详细过程）
- 6、数学 求20道一元二次方程应用题
- 7、一元二次方程的四种解法例题和过程和方法
- 8、求一些关于一元二次方程的中考题.难一点最好.但是要有答案.多来点
20道一元二次方程带解答过程是什么？
20道一元二次方程带解答如下：
(1)x^2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1 。
(2)x^2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9 。
(3)x^2-2x-80=0 答案：x1=-8 x2=10 。
(4)x^2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10 。
(5)x^2-20x+96=0 答案：x1=12 x2=8 。
(6)x^2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4 。
(7)x^2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11 。
(8)x^2-12x-108=0 答案：x1=-6 x2=18 。
(9)x^2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18 。
(10)x^2-11x-102=0 答案：x1=17 x2=-6 。
(11)x^2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3 。
(12)x^2+11x+18=0 答案：x1=-2 x2=-9 。
(13)x^2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5 。
(14)x^2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9 。
(15)x^2-25x+156=0 答案：x1=13 x2=12 。
(16)x^2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19 。
(17)x^2-5x-176=0 答案：x1=16 x2=-11 。
(18)x^2-26x+133=0 答案：x1=7 x2=19 。
(19)x^2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1 。
(20)x^2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19 。
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数。
③未知数项的最高次数是2。
一元二次方程的经典题型
一元二次方程的经典题型：
例题：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游， 推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游， 共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位
这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解：设该单位这次共有 x 名 员 工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝ 25000＜
27000， 所以员工人数一定超过25人.
则根据题意， 得[1000－20( x －25)] x ＝27000.
整理， 得 x 2 －75 x +1350＝0， 解这个方程， 得 x 1 ＝45， x 2 ＝30.
当 x ＝45时， 1000－20( x －25)＝600＜700， 故舍去 x 1 ；
当 x 2 ＝30时， 1000－20( x －25)＝900＞700， 符合题意.
答： 该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
一元二次方程的解题思路主要包括以下几个步骤：
1、理解方程：首先，我们需要理解一元二次方程的基本形式，即ax^2 + bx + c = 0。理解方程的关键是理解二次项、一次项和常数项的含义和作用。
2、观察根的情况：通过观察方程的判别式（即b^2 - 4ac）的值，我们可以判断方程根的情况。如果判别式大于0，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于0，方程有两个相同的实数根；如果判别式小于0，方程没有实数根。
3、选择合适的求解方法：求解一元二次方程的方法主要有三种：配方法、公式法和因式分解法。选择哪种方法主要取决于方程的特点和实际问题的需求。
4、实际应用：一元二次方程在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在物理学中的抛物线运动、经济学中的增长率问题以及工程学中的周期性现象等。通过将实际问题转化为数学模型，我们可以利用一元二次方程来分析问题和解决问题。
直接开平方法解一元二次方程20道
以下是20道使用直接开平方法解一元二次方程的题目：
x2-4x=0；x2-6x+9=0；x2-2x=0；2x2-4x=0；x2-8x+16=0；x2-4x+4=0；x2-2x+1=0；3x2-6x=0；x2-10x+25=0；x2-6x+9=0；x2-4x+4=0；x2-12x+36=0；x2-4x+4=0；x2-6x+9=0；x2-4x+4=0；x2-16x+64=0；x2-18x+81=0；x2-12x+36=0；x2-24x+144=0；x2-30x+225=0
一元二次方程
一元二次方程是一种特殊的二次方程，其形式为ax2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。它是代数学中一个基本的重要分支，有着广泛的应用。一元二次方程的解法一般包括直接开平方法、因式分解法、公式法等。
直接开平方法是一种简单、直观的解一元二次方程的方法，适用于形如x2=p或（nx+m）2=p的情况。如果方程的一边可以表示为另一边的平方的形式，那么我们就可以使用直接开平方法。具体步骤是将等式两边开平方，然后求解得到方程的解。
例如，对于方程x2=16，我们可以将其开平方得到x=±4，因此方程的解为x?=4和x?=-4。同样对于（2x-1）2=9，我们可以开平方得到2x-1=±3，因此方程的解为x?=2和x?=-1。
因式分解法是将方程进行因式分解，将其转化为两个一次因式的乘积，然后求解得到方程的解。例如，对于方程2x（x-1）+3（x-1）=0，我们将等式两边同时除以（x-1），得到2x+3=0，因此方程的解为x=-3/2。
公式法是一种通用的解一元二次方程的方法，适用于任何一元二次方程。它基于一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac，通过计算得到方程的两个解。如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数根；如果Δ=0，那么方程有两个相等的实数根；如果Δ<0，那么方程没有实数根。
例如，对于方程ax2+bx+c=0，其解为x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。如果我们将其代入原方程中并化简得到ax2+bx+c=0的形式，就可以得到一元二次方程的解。
20道用配方法解一元二次方程的题
用配方法解一元二次方程练习题
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2；
②、x2－5x+ =（x－ ）2；
③、x2+ x+ =（x+ ）2；
④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
10．用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9
（3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=0
11.用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值 ；
（2）求-3x2+5x+1的最大值。
1、例题：x2-2x=0
变化：x2-2x+1=1
变化：（x-1） 2=1
变化：x-1=±1
解为：x=2 或 x=0
2、例题：x2-2x=4
变化：x2-2x+1=5
变化：（x-1） 2=5
变化：x-1=±√5
解为：x=1+√5 或 x=1-√5
3、例题：2x2-4x=4
变化：x2-2x+1=3
变化：（x-1） 2=3
变化：x-1=±√3
解为：x=1+√3 或 x=1-√3
4、例题：x2-4x=-4
变化：x2-4x+4=0
变化：（x-2） 2=0
变化：x-2=±0
解为：x=2
5、例题：x2-4x=0
变化：x2-4x+4=4
变化：（x-2） 2=4
变化：x-2=±2
解为：x=4 或 x=0
扩展资料：
配方法解一元二次方程技巧：
1、要将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
2、配方法的理论依据是完全平方公式a2+b2+2ab=(a+b)2 。
3、通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
参考资料来源：百度百科-一元二次方程
求解一元二次方程有4种解法例题 每种方法5个例题（解一元二次方程：简单的，详细过程）
一元二次方程的解法有如下几种:
第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。
例2：X^2-8X+16=0
本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同）
例3：X^2-9=0
本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。
例4：X^2-5X=0
本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5
第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程：
X^2+2X-3=0
第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。
第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。
还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。
最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。
定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a
举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ?2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2） x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q
数学 求20道一元二次方程应用题
增长率问题：1、(2003大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________；2、(2003北京西城)宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下：月 份一二三四五六产量(台)505148505249(1) 求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数；(2) 由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？
1.小朋养了一群鸽子，小刚问他养了几只，小朋说：“如果你给我一只鸽子，那鸽子总数的平方恰是鸽子总数的9倍。”你知道小明现有多少只鸽子吗？
2.一个两位数等于它个位上的数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，求这个两位数。
3.一辆红旗桥车新的时候的价值是25W万，若使用第一年后折旧20%，以后每年按另一折旧率进行折旧，这三年末这辆桥车的价值是16.2万元，问：这辆车在第二 .三年中，平均每年的折旧率是多少？
4.将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每张价1元，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价定为多少，这时应进货多少个答案1.解:设小朋有X只鸽子.则
(X+1)^2=9(X+1)
解得X=8或X=-1(舍去)
所以小朋养了8只鸽子.
2.解:设着两位数字的个位数字是X.则
X^2=10(X-3)+X
解得X=6或X=5
所以这两个两位数字是36或者25.
3.解:有题意得第2年时的价钱是25*(1-0.2)=20W.
设第2.3年的折旧率为X
则20*(1-X)^2=16.2
解得X=10
所以折旧率为10%.
4.解:设这是售价定为X元(X为大于50的数).则有题意得
[500-(X-40)*10]*X=8000
解得X=10或X=-80(舍去)
所以定价为60元,此时进货500-(60-50)*10=400个
一元二次方程的四种解法例题和过程和方法
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
[例题]
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
求一些关于一元二次方程的中考题.难一点最好.但是要有答案.多来点
3`554353452
例1.（2010年绵阳市）．已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
分析：（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．
解：（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．
∵ 原方程有两个实数根，
∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．
（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，
∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．
因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得最小值1．
二、一元二次方程与反比例函数综合
例2（2010年山东淄博改编）已知关于x的方程．若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
分析：写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．
解: 设方程的两个根为，，
根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，
那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5
点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目
三、一元二次方程与二次函数综合
例3（2008年湖北荆州市）已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．
（1）用m、p分别表示OA、OC的长；
（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．
分析：（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值．（2）根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可．
解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x1=p，x2=m+2-p，
∵m+2＞2＞0
∴m+2-p＞p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=P．
（2）∵OC=OB，S△AOB = OA?OB，
∴S△AOB= OA?OB= P?（m+2-p），
=-P2+ （m+2）?P，
∴当p==（m+2）时，S△AOB最大．
点评：掌握二次函数的图象，最大值，最小值，二次函数中求三角形面积的问题，通常情况下都是涉及其最高点，最低点的问题．
四、一元二次方程与不等式综合
例4（2008年湖北荆州市）关于的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是______________________.
分析：因为方程有两实根，所以△=[2（k+1）]2-4k2≥0≥0，又因为关于y的不等式组 y＞-4y＜m有实数解，所以y一定介于-4与m之间，即m一定大于-4，因此m=-2（k+1）＞-4，然后解不等式即可求出k的取值范围．
解：∵方程x2+2（k+1）x+k2=0有两实根，
∴△=[2（k+1）]2-4k2≥0，解得k≥- 12；
∵关于y的不等于组有实数解，∴m＞-4
又∵m=-2（k+1），
∴-2（k+1）＞-4，解得k＜1．
∴k的取值范围是得1＞k≥-12．故填空答案：1＞k≥-12．
点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．
五、一元二次方程与概率综合
例5（2010年黄冈市）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.
（1）求满足关于x的方程有实数解的概率.
（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.
分析：（1）方程x2+px+q=0有实数解，则p2-4q≥0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数；（2）方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2-4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．
解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，
（1）其中使方程有实数解共有19种情况：
p=6时，q=6、5、4、3、2、1；
p=5时，q=6、5、4、3、2、1；
p=4时，q=4、3、2、1；
p=3时，q=2、1；
p=2时，q=1；故其概率为．
（2）使方程有相等实数解共有2种情况：
p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为．
点评：本题考查一元二次方程根的判别式和概率关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．
六、一元二次方程与几何知识综合
例6（2009年黄石市）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解：解方程得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
点评：本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．
例7（2010年兰州市）已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
解：∵两圆的半径分别是方程的两根，
∴两圆半径和为5，半径积为6，半径差为 =1，即圆心距等于半径差，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选D．
