本文目录一览：
- 1、初中九年级数学教案范文：一元二次方程的应用
- 2、初中数学一元二次方程教案
- 3、一元二次方程怎么解？
- 4、如何解一元二次方程呢？
- 5、如何解一元二次方程？
- 6、一元二次方程怎么解
- 7、如何解一元二次方程？
- 8、如何解一元二次方程？
- 9、关于△的数学一元二次方程教案
- 10、一元二次方程怎么解？
初中九年级数学教案范文：一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
第一课时
一、教学目标
1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系。
3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4．解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。
三、教学过程
1．复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）
2．例题讲解
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a．设较小的奇数为x，则另一奇数为，b．设较小的奇数为，则另一奇数为；c．设较小的奇数为，则另一个奇数。
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。
解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
由得，由得，
答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。
解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
当时，
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。
解法（三） 设较小的奇数为，则另一个奇数为。
据题意，得
整理后，得
解得，，或。
当时，。
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。
3．选出三种方法中最简单的一种。
练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数。
2．三个连续奇数的和是321，求这三个数。
3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。
例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
分析：数与数字的关系是：
两位数十位数字个位数字。
三位数百位数字十位数字个位数字。
解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。
据题意，得，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去）
当时，
答：这个两位数是24。
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。
四、布置作业
教材P42A 1、2
补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。
五、板书设计
探究活动
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
参考答案：
精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000
当时，50+=60，500=400
当时，50+=80，500=200
所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.
初中数学一元二次方程教案
一元二次方程式是初中数学教学的重点内容，教学的顺利进行需要有一个教案。下面我为你整理了初中数学一元二次方程的教案，希望对你有帮助。
设计
学情分析：
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
教学目标
知识技能：
1、 理解一元二次方程的概念.
2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
数学思考：
1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.
2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
解决问题：
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型一元二次方程的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
情感态度：
1、培养学生自主自主学习、探究知识和合作交流的意识.
2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.
教学重点：
一元二次方程的概念及一般形式.
教学难点：
1、由实际问题向数学问题的转化过程.
2、正确识别一元二次方程一般形式中的“项”及“系数”.
教学互动设计：
一、自主学习 感受新知
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少?
【分析】设长方形绿地的宽为x米，依题意列方程为：xx+10=900;
整理得： x2+10x-900=0 ①
【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x，依题列方程为：51+x2=7.2;
整理得： 5 x2+10x-2.2=0 ②
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?
【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 x-1队各赛1场，全场比赛共场，依题意列方程得：;
整理得： x2-x-56=0 ③
设计意图：在现实生活中发现并提出简单的问题，吸引学生的注意力，激发学生自主学习的兴趣和积极性。 同时通过解决实际问题引入一元二次方程的概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。
二、自主交流 探究新知
【探究】1上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 填 “整式”“分式”等;
2方程整理后含有 一 个未知数;
3按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。
【归纳】
1、一元二次方程的定义
等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数一元，并且求知数的最高次数是 2 二次的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2+bx+c=0a≠0
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
【强调】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
设计意图：由于学生已熟练掌握了整式、分式、一元一次方程等概念，所以从未知数的个数及最高次数提问，引导学生归纳共同点是符合学生的认知基础的。学生的自主观察、比较、归纳是活动有效的保证，教学中应当让学生充分的探究和交流。同时，在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。
【对应练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程?哪些不是?为什么?
1x3-2x2+5=0; 2x2=1;
35x2-2x-=x2-2x+; 42x+12=3x+1;
5x2-2x=x2+1; 6ax2+bx+c=0
设计意图：此问题采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。其目的是为了及时巩固一元二次方程的概念，同时让学生知道判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。
三、自主应用 巩固新知
【例1】 已知方程a-3x|a-1|-2x+5=0，当 a=-1 时，此方程是一元二次方程，当a=0，2或3 时，此方程是一元一次方程。
设计意图：通过例1的学习，一是使学生进一步巩固一元二次方程的概念，并注意其最基本的条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0;二是使学生了解一元二次方程与一元一次方程的联络与区别。在填第一个空时要让学生注意a值的取舍，填第二个空时要注意引导学生进行分类讨论。
【例2】将方程3xx-1=5x+2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0a≠0.因此，方程3xx-1=5x+2必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.
解：去括号，得：
3x2-3x=5x+10
移项合并同类项，得：
3x2-8x-10=0
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。
设计意图：通过例2的学习，一是使学生进一步掌握一元二次方程的一般形式，并注意强调二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号;二是使学生进一步了解方程的变形过程。
四、自主总结 拓展新知
本节课你学了什么知识?从中得到了什么启示?
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
设计意图：引导学生回顾本节课的学习内容，加强知识的形成。
五、自主检测 反馈新知
1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤
2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为xx+10=200，化为一般形式为x2+10x-200=0。
3、方程m-2x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= -2 。
4、将方程x+12+x-2x+2=1化成一元二次方程的一般形式为 2x2+2x-4=0 ，其中二次项是 2x2 ，二次项系数是 2 ，一次项是 2x ，一次项系数是 2 ，常数项是 -4 。
设计意图：随堂检测学生对新知识的掌握情况，及时了解反馈和调整后续教学内容与教法。
六、课后作业
教科书第28页 1 2 5 6 7
初中一元二次方程教学理念与反思
本节内容是九年级数学第二章的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0a≠0和二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项，是典型的概念教学课。
概念教学总是遵循这样的规律：引入概念、形成概念、巩固概念、运用概念和深化概念，在设计教学中也是遵循这一规律，通过学习、交流、应用、总结、检测这五个环节来完成教学任务。首先通过三个问题让学生建立一元二次方程顺利引入到新课;然后通过交流探究归纳出一元二次方程的概念，使学生体会到学习一元二次方程的必要性，探讨一元二次方程的一般形式及相关概念，并学会利用方程解决实际问题，从而获得本课的新知识;再次是通过两个例题达到巩固、运用概念的作用;最后通过总结与检测来深化学生所学知识，并运用到实际问题中去，使学生熟练掌握所学知识。
教学过程中，强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探究的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新能力。
一元二次方程怎么解？
?一元二次方程简介：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax2+bx+c=0（a≠0）；
一元二次方程的解法主要有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
配方法简介与应用：配方法是一种通过恒等变形将一个式子或这个式子的一部分化成完全平方式的数学方法；
配方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一；
配方法通常用来推导出一元二次方程的求根公式：把方程的左边化为完全平方，右边则化为一个常数。
运用配方法需要掌握的知识：应用配方法首先要知道完全平方公式：（a+b）^2=a^2+2ab+b^2；
要掌握一些基本的如移项、约分、合并、化简等的运算的基本操作。
本题利用配方法的解题步骤：首先判定该方程是否为一元二次方程：
a.若二次项的系数a=0，那么该方程不是一元二次方程，此时根据一元一次方程的知识进行求解。
b.若二次项的系数a≠0，则该方程为一元二次方程，可以用配方法求解其根。有如下步骤。
判定该方程是否有解：
a.若b^2-4ac<0，则该方程无实数解；
b.若b^2-4ac≥0，则该方程在实数范围内存在根；
将x^2项系数化为1，为配方做准备：
a(x^2+(b/a)x)+c=0
对括号里面的式子进行配方，凑出完全平方式的各项：
a(x^2+2x(b/2a)+(b/2a)^2)-a(b/2a)^2+c=0
将括号里面的化为完全平方式，并将其他项化简后移项到等号右端：
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
将完全平方式系数化为1，并判定b^2-4ac是否等于零：
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
a.若b^2-4ac = 0则进行开平方并求得未知数x：
x=-(b/2a)
b.若b^2-4ac >0则进行开平方并求得未知数x：
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
针对于a≠0，有两个不同根的一元二次方程的配方法解法附图：
总结：配方法用来求解一元二次方程十分方便，是常用的求解方法之一。熟练运用配方法是进行一元二次方程学习的基本要求。另外，一元二次方程解法中的公式法就是由配方法推导出来的，可见配方法有多么重要。
备注：运用配方法时需要注意，首先要判定该方程是否为一元二次方程，即确定未知数的二次项系数是否为零，确定是一元二次方程后才可以运用该方法解题；
在解题过程中，最后一步开平方求根的时候要注意，开平方得到的是正负两个数，再经过化简合并得到了两个根，而实际问题中可能两个根都满足，可能仅有一个满足，也可能都不满足，具体情况要根据实际问题考虑。
以上提到的知识、解法以及步骤参考了数学课本。
如何解一元二次方程呢？
可以通过移项把未知数移到同一边。
解方程依据：
1、移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；
2、等式的基本性质：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
扩展资料：
一、一元一次方程解法：
去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。
移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以式。
化系数为一方程两边同时除以未知数的系数。
得出方程的解。
二、二元一次方程解法：
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
代入消元。
三、一元二次方程解法：
1、公式法（直接开平方法）
2、配方法
3、因式分解法
4、十字相乘法
如何解一元二次方程？
首先将一元二次方程整理成一般形式ax^2+bx+c=0(a≠0)
解法一:
若c=0，则用提取公因式法解
解法二:
若c≠0，但判别式b^2一4ac为完全平方数，
则用十字相乘法因式分解法解
解法三:
若c≠0且判别式b^2一4ac不是完全平方数，
则用求根公式解，或用配方法解。
方法一：
∫［sinx/（1＋sinx）］dx
＝∫［（1＋sinx－1）/（1＋sinx）］dx
＝∫dx－∫［1/（1＋sinx）］dx
＝x－∫｛1/［sin（x/2）＋cos（x/2）］^2｝dx
＝x－∫｛1/［1＋tan（x/2）］^2｝｛1/［cos（x/2）］^2｝dx
＝x－2∫｛1/［1＋tan（x/2）］^2｝｛1/［cos（x/2）］^2｝d（x/2）
＝x－2∫｛1/［1＋tan（x/2）］^2｝d［tan（x/2）］
＝x－2∫｛1/［1＋tan（x/2）］^2｝d［1＋tan（x/2）］
＝x＋2/［1＋tan（x/2）］＋C
方法二：
∫［sinx/（1＋sinx）］dx
＝∫［（1＋sinx－1）/（1＋sinx）］dx
＝∫dx－∫［1/（1＋sinx）］dx
＝x－∫｛（1－sinx）/［1－（sinx）^2］｝dx
＝x－∫［1/（cosx）^2］dx＋∫［sinx/（cosx）^2］dx
＝x－tanx－∫［1/（cosx）^2］d（cosx）
＝x－tanx＋1/cosx＋C
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0）。
通用解法：公式法
x=(-b±√(b2-4ac))/2a
(其中(b2-4ac)为判别式,记做△)
注意,
当△>0时,方程有两个不相同的实数根,
当△=0时,方程有两个相同的实数根,
当△<0时,方程无实数根,
一元二次方程怎么解
一元二次方程的解法
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,
(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的
方程，其解为x=m±
.
例1．解方程（1）(3x+1)2=7
（2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解：
9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+(
)2=-
+(
)2
方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程
3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边
3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+(
)2=
+(
)2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
.
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a,
b,
c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程
2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2,
b=-8,
c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=
=
=
∴原方程的解为x1=,x2=
.
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1)
(x+3)(x-6)=-8
(2)
2x2+3x=0
(3)
6x2+5x-50=0
(选学）
(4)x2-2(
+
)x+4=0
（选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8
化简整理得
x2-3x-10=0
(方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0
(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0
(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0
(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,
x2=-
是原方程的解。
(4)解：x2-2(+
)x+4
=0
（∵4
可分解为2
·2
，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2
)=0
∴x1=2
,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
你看看吧
首先要熟悉一元二次方程
有三种方法：
一、配方法
二、因式分解法
三、公式法
举例如下：
x2-4x+3=0
方法一：
(x-2)2-4+3=0
(x-2)2-1=0
(x-2)2=1
x-2=±1
x1=3
x2=1
方法二：
(x-1)(x-3)=0
x1=1
x2=3
方法三：
x=[4±√(-4)2-4×3]/2
x=(4±2)/2
x1=3
x2=1
上面都复制这么多了，我也就不用举例了。解一元二次方程用公式法最保险，公式法适用于所有一元二次方程，要算快一点可以用十字相乘法，用这个算最快准。不过只适用于一些式子而已。
类比归纳专题：一元二次方程的解法
一元二次方程四中解法。一、公式法。二、配方法。三、直接开平方法。四、因式分解法。公式法1先判断△=b_-4ac，若△<0原方程无实根；2若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；3若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。配方法。先把常数c移到方程右边得：aX_+bX=-c。将二次项系数化为1得：X_+（b/a）X=-c/a，方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得X_+（b/a）X+（b/（2a））_=-c/a+（b/（2a））_方程化为:（b+（2a））_=-c/a+（b/（2a））_。5①、若-c/a+（b/（2a））_<0，原方程无实根；②、若-c/a+（b/（2a））_=0，原方程有两个相同的解为X=-b/（2a）；③、若-c/a+（b/（2a））_>0，原方程的解为X=（-b）±√（（b_-4ac））/（2a）。
如何解一元二次方程？
如何解一元二次方程？
一元二次方程是一个基本的数学方程，在许多领域都有广泛的应用。解一元二次方程的方法主要有公式法、因式分解法和配方法。下面我们将详细介绍这些方法。
公式法
一元二次方程的一般形式为：ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。根据方程的判别式Δ=b2-4ac，可以将一元二次方程的解分为三种情况：
(1) 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：
x? = (-b + √Δ) / (2a)，x? = (-b - √Δ) / (2a)。
(2) 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根：x? = x? = -b / (2a)。
(3) 当Δ<0时，方程无实数根，但有两组共轭复数根：x? = (-b + √(-Δi)) / (2a)，x? = (-b - √(-Δi)) / (2a)，其中i为虚数单位。
根据以上公式，我们可以直接计算出方程的解。
因式分解法
因式分解法是一种通过将一元二次方程分解为两个一次因式的乘积，从而达到求解目的的方法。根据二次方程的判别式，可以将一元二次方程分解为以下三种形式：
(1) 当Δ>0时，方程可以分解为两个不相等的实数因式：ax2 + bx + c = (x - x?)(x - x?)。
(2) 当Δ=0时，方程可以分解为一个实数因式和一次因式的乘积：ax2 + bx + c = (x - x?)(cx + b)。
(3) 当Δ<0时，方程无实数根，但可以分解为一个实数因式和一对共轭复数因式的乘积：ax2 + bx + c = (x - x?)(cx - x?)。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一次因式的乘积形式，从而方便求解。
配方法
配方法是一种通过将一元二次方程转化为一次方程来求解的方法。给定一元二次方程ax2 + bx + c = 0，我们可以将其化为标准形式：ax2 + 2bx + b2 = b2 - ac。然后，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即b2 - ac，得到完全平方形式：(x + b)2 = b2 - ac。开平方得到：x + b = ±√(b2 - ac)，进而得到两个一次方程：x + b = √(b2 - ac)或x + b = -√(b2 - ac)。将这两个一次方程相减，即可消去一次项，得到一个关于二次项和常数项的方程：2√(b2 - ac) = 0。解这个方程可以得到c的值，进而得到a和b的值。通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为一次方程，从而方便求解。
以上就是解一元二次方程的三种主要方法：公式法、因式分解法和配方法。根据不同的具体情况和需要，选择合适的方法进行求解。
一元二次方程有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法为通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
1、直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±√p。如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±√p，进而得出方程的根。
2、配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，先将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。
3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。
4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
注意事项
公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程
的一个求根公式。
公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。
书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文（radix）。其中涉及到六种不同的形式，令a，b，c为正数，如
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系
参考资料来源：百度百科-一元二次方程
参考资料来源：百度百科-一元二次方程解法
如何解一元二次方程？
二元二次方程的解法如下：
1、代入法
由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。
2、因式分解法
在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。
3、加减法
如果方程组里两个方程有一个未知数的同次项的系数成比例，可将这个未知数的系数化为绝对值相等，再用加或减消去这个未知数，从而得到另一个未知数的一元二次方程再解。
代入消元法
①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数。
②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）。
③解这个一元一次方程，求出未知数的值。
④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值。
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
关于△的数学一元二次方程教案
学习目标1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程学习重、难点重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”学习过程：一、情境创设1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。二、探索活动上述问题可用方程解决：问题1中可设宽为x米，则可列方程： x（x+10）= 900问题2中可设这两年的平均增长率为x，则可列方程： 5（1＋x）2 = 7.2问题3中可设这个正方形的连长为x，则可列方程： 2x2 = 15问题4中可设较小的一个数为x，则可列方程： x（x＋3）= 10观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax2＋bx＋c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫二次项系数和一次项系数。三、例题教学例 1 根据题意，列出方程：（1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。（答案：设这两年图书馆的年平均增长率是x，根据题意，得1·（1＋x）2=1.44）（2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。（答案：设这个正方形的连长是x厘米，根据题意，得x·（x＋10）= 600）例 2 判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：⑴ 2（x2－1）= 3y ⑵ ⑶（x－3）2= （x＋5）2 ⑷ mx2＋3x－2 = 0⑸ （a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a = 0例 3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：⑴ 2（x2－1）= 3 x ⑵ 3（x－3）2=（x＋2）2＋7四、课堂练习P81 练习 1、2五、课堂小结引导学生总结：1、一元二次方程定义的三要素。2、一元二次方程的一般形式及二次项系数不能为零。
当△大于0时，方程有两个实数解当△=0时，方程有两个相等的实数解当△小于0时，方程无实数解（有虚数解）△=b的平方-4ac
想要讲课，自己先了解了。了解了，然后上课推那个东西是怎么来的，有什么用。。一节课时间就到了。。
实际问题与一元二次方程教案 教学内容
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题.
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题.
重难点关键
1.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2.难点与关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
(一)通过上节课的学习,大家学到了哪些知识和方法?
(二)上一节,我们学习了解决"平均增长(下降)率问题",现在,我们要学习解决"面积、体积问题。
1.直角三角形的面积公式是什么?一般三角形的面积公式是什么呢?
2.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么?
3.梯形的面积公式是什么?
4.菱形的面积公式是什么?
5.平行四边形的面积公式是什么?
6.圆的面积公式是什么?
(学生口答,老师点评)
二、探索新知
现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题.
例1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少?
(2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完?
分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,渠底为x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建模.
解:(1)设渠深为xm
则渠底为(x+0.4)m,上口宽为(x+2)m
依题意,得: (x+2+x+0.4)x=1.6
整理,得:5x2+6x-8=0
解得:x1= =0.8m,x2=-2(舍)
∴上口宽为2.8m,渠底为1.2m.
(2) =25天
答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道.
学生活动:例2.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
思考: (1)本体中有哪些数量关系?
(2)正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解?
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?
老师点评:依据题意知:中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比=9:7,由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7,设上、下边衬的宽均为9xcm,则左、右边衬的宽均为7xcm,依题意,得:中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm.
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 ,则中央矩形的面积是封面面积的.
所以(27-18x)(21-14x)= ×27×21
整理,得:16x2-48x+9=0
解方程,得:x= ,
x1≈2.8cm,x2≈0.2
所以:9x1=25.2cm(舍去),9x2=1.8cm,7x2=1.4cm
因此,上下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm.
分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm。依题意得
解方程,得:
故上下边衬的宽度为:
左右边衬的宽度为:
思考:对比几种方法各有什么特点?
四、应用拓展
例3某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
练习 如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少?
解法一: 设道路的宽为x,我们利用"图形经过移动,它的面积大小不会改变"的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路)则可列方程:(20-x)(32-2x)=500 整理,得:x2-36x+70=0
解法二:20×32-2×20x-32x+2x2=500
例4.如图(a)、(b)所示,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟,使S△PBQ=8cm2.
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6cm2.(友情提示:过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则: )
分析:(1)设经过x秒钟,使S△PBQ=8cm2,那么AP=x,PB=6-x,QB=2x,由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型.
(2)设经过y秒钟,这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2.因为AB=6,BC=8,由勾股定理得:AC=10,又由于PA=y,CP=(14-y),CQ=(2y-8),又由友情提示,便可得到DQ,那么根据三角形的面积公式即可建模.
解:(1)设x秒,点P在AB上,点Q在BC上,且使△PBQ的面积为8cm2.
则: (6-x)·2x=8
解得:x1=2,x2=4
∴经过2秒,点P到离A点1×2=2cm处,点Q离B点2×2=4cm处,经过4秒,点P到离A点1×4=4cm处,点Q离B点2×4=8cm处,所以它们都符合要求.
(2)设y秒后点P移到BC上,且有CP=(14-y)cm,点Q在CA上移动,且使CQ=(2y-8)cm,过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则有
∵AB=6,BC=8
∴由勾股定理,得:AC= =10
∴DQ=
则: (14-y)· =12.6
整理,得:y2-18y+77=0
解得:y1=7,y2=11
即经过7秒,点P在BC上距C点7cm处(CP=14-y=7),点Q在CA上距C点6cm处(CQ=2y-8=6),使△PCD的面积为12.6cm2.
经过11秒,点P在BC上距C点3cm处,点Q在CA上距C点14cm>10,
∴点Q已超过CA的范围,即此解不存在. ∴本小题只有一解y1=7.
五、归纳小结
本节课应掌握:利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
六、布置作业
1.教材P53 综合运用5、6 拓广探索全部.
2.选用作业设计: 一、选择题
1.直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为( ).
A. B.5 C. D.7
2.有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的3倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是( ).
A.第一块木板长18m,宽9m,第二块木板长16m,宽27m;
B.第一块木板长12m,宽6m,第二块木板长10m,宽18m;
C.第一块木板长9m,宽4.5m,第二块木板长7m,宽13.5m;
D.以上都不对
3.从正方形铁片,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( ).
A.8cm B.64cm C.8cm2 D.64cm2
二、填空题
1.矩形的周长为8 ,面积为1,则矩形的长和宽分别为________.
2.长方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为________.
3.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为_______.
图22-10
三、综合提高题
1.如图所示的一防水坝的横截面(梯形),坝顶宽3m,背水坡度为1:2,迎水坡度为1:1,若坝长30m,完成大坝所用去的土方为4500m2,问水坝的高应是多少?(说明:背水坡度 = ,迎水坡度 )(精确到0.1m)
2.在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?
3.谁能量出道路的宽度:
如图22-10,有矩形地ABCD一块,要在中央修一矩形花辅EFGH,使其面积为这块地面积的一半,且花圃四周道路的宽相等,今无测量工具,只有无刻度的足够长的绳子一条,如何量出道路的宽度?
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题,相信你一定能行
一元二次方程怎么解？
一元二次方程有六种解法：
1. 因式分解法：将一元二次方程化成ax^2+bx+c=0的形式后进行拆解，得到两个一元一次方程，进而求解的方法。
2. 公式法：通过求解公式x=(b±√(b^2-4ac))/2a来求解一元二次方程的方法。
3. 图像法：通过作出ax^2+bx+c=0的图像，观察图像上的交点，从而得到方程的解的方法。
4. 直接开平方法：对于形如x^2=a^2的方程，可以直接开平方求解。
5. 配方法：将一元二次方程的左边配成完全平方式，右边化为一个常数，从而求解的方法。
6. 直接利用公式法：根据根与根之间的关系，利用前人推出的公式来代出根的方法。
您可以根据具体情况选择合适的解法。
