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一元二次方程求根公式韦达定理,伟达定律公式

admin admin 发表于2024-01-30 23:51:19 浏览20 评论0

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伟达定律公式

韦达定理公式是:一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系:X1+X2=-b/a,X1*X2=c/a。
韦达定理的英文名称是Viete theorem;它说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。 法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理使用条件及作用
1、韦达定理使用条件是方程必须是一元二次方程,方程必须有实数根。韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系,还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
2、法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。韦达定理在求根的对称函数,讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

韦达定理三个公式

韦达定理的三个公式是:X1+X2=-b/a,X1×X2=c/a,△=b^2-4ac,韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系,可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
1、韦达定理的推导过程:
ax2+bx+c=0(a、b、c为实数且a≠0)中,由一元二次方程求根公式可知:
X1、2。
则有:X1+X2 + =-b/a,
X1X2=c/a。
2、韦达公式的运用
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,
若b2-4ac<0则方程没有实数根,
若b2-4ac=0则方程有两个相等的实数根,
若b2-4ac>0则方程有两个不相等的实数根。
3、定理拓展:
(1)若两根互为相反数,则b=0;
(2)若两根互为倒数,则a=c;
(3)若一根为0,则c=0;
(4)若一根为-1,则a-b+c=0;
(5)若一根为1,则a+b+c=0;
(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根。
数学提高成绩的方法:
1、定义理解很重要
数学主要考验的是人的思维逻辑,熟记定义和公式虽重要,但是最重要的是理解定义和公式。通过做题更容易理解和掌握知识点。所以遇到难以理解的定义时,不妨找几个相关知识点的题来做一下。
2、总结归纳、掌握精髓
高中数学更多的是考验同学们的独立思考能力。这就要求同学们要对老师讲的方法进行归纳总结,取其精髓,懂得变通,要学会举一反三,自己多尝试摸索出其他的解题方法。
3、不要小看选择题和填空题
通过练习会发现大多数选择题除了固定的解题方法外,还可以利用排除法、代入法、以及数形结合的方法来快速判断出答案,可以锻炼自己的发散思维。

韦达定理公式是什么

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
英文名称:Vieta's formulas
  韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
  这里讲一元二次方程两根之间的关系。
  一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系:X1+X2=-b/a,X1*X2=c/a
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中,设两个根为x1,x2 则
  X1+X2= -b/a
  X1*X2=c/a
  用韦达定理判断方程的根
  一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中,
  若b^2-4ac<0 则方程没有实数根
  若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
  若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0
韦达定理推广
它的根记作X1,X2…,Xn

  我们有右图等式组
  其中∑是求和,Π是求积。
  如果一元二次方程
  在复数集中的根是,那么
  由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
  在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
  其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
  (x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|
  法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
  韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
由一元二次方程求根公式为:X = (-b±√b^2-4ac)/2a
  (注意:a指二次项系数,b指一次项系数,c指常数)
  可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ,X2= (-b-√b^2-4ac)/2a
  1. X1﹢X2=(-b+√b^2-4ac)/2a+(-b-√b^2-4ac)/2a
  所以X1﹢X2=-b/a
  2. X1X2= [(-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[(-b-√b^2-4ac﹚÷2a]
  所以X1X2=c/a
  (补充:X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2
  (扩充)3.X1-X2=(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a
  又因为X1.X2的值可以互换,所以则有
  X1-X2=±【(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a】
  所以X1-X2=±(√b^2-4ac)/a
  韦达定理推广的证明
  设X1,X2,……,xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
  则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
  所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
  通过系数对比可得:
  A(n-1)=-An(∑xi)
  A(n-2)=An(∑xixi)
  …
  A0=[(-1) ]×An×ΠXi
  所以:∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)
  ∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)
  …
  ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)
  其中∑是求和,Π是求积。
  一元五次方程验证:
  已知一个一元五次方程:a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1
  根据高斯的代数原理:上式在复数范围内必可分解成: a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式;且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。
  把上式展开成:
  -a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0
  上述方程可化简成:
  a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+x2*x4+x1*x4+x3*x4+x3*x5+x2*x5+x1*x5)*
  (x^3)*a1-(x3*x4*x5+x2*x3*x5+x1*x3*x5+x1*x2*x5+x2*x4*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x1*x3*x4+x1*x2*x4+x1*x2*x3)*
  (x^2)*a1+(x2*x3*x4*x5+x1*x3*x4*x5+x1*x2*x4*x5+x1*x2*x3*x5+x1*x2*x3*x4)*x*a1-x1*x2*x3*x4*x5*a1=0
  设化简后的方程为形式3.
  最后对比形式1与形式3的x次方相同的数,即可得该多项式根与系数的关系
英文名称:Vieta's formulas
韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系:X1+X2=-b/a,X1*X2=c/a
韦达简介
韦达
  他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进,他最早系统地引入代数符号,推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号,用字母代替未知数,系统阐述并改良了三、四次方程的解法,指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
韦达从事数学研究只是出于爱好,然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》(1579年)是韦达最早的数学专著之一,可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术",初步讨论了正弦,余弦,正切弦的一般公式,首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程,具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
他的《解析方法入门》一书(1591年),集中了他以前在代数方面的大成,使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中,两根X1,X2有如下关系:X1+X2=-b/a,X1*X2=c/a
x1+ x2=-b/a , x1·x2=c/a.
x1+x2=-b/a x1.x2=c/a
设一元二次方程
中,两根x?、x?有如下关系:
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件,韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根,实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合,则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
扩展资料
韦达定理主要应用于求解一元二次方程的两个根的相关问题,这个定理的出现为解决类似问题节约了时间。
韦达定理(),简单来说,就是可以通过一元二次方程的相关系数直接求解根,而上述公式中,a为二次方前面的系数,b为一次方前面的系数,c为常数项,这是比较直接、比较实用的一个方法。
尤其对于那些已知两个根,需要推导出方程的题,更能够看出韦达定理的优势。韦达定理在更高次方程中也是可以使用的,在求解的过程中会涉及到求和公式。
参考资料来源:百度百科-韦达定理

一元二次方程的求根公式是什么?

求根公式如下:
a为二次项系数,b为一次项系数,c是常数。
一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解,它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。
拓展知识:
虽然阿拉伯人在九世纪,就掌握了求解一元二次方程的方法。
但一元二次方程最为重要的理论,是由法国数学家韦达建立的,他在《论方程的识别与订正》中讨论了根和方程的系数之间的关系,这一重要结果也被命名为韦达定理。
一元二次方程的求根公式
要讨论任意方程的性质,首先我们需要一个对所有方程都能使用的解法。
对于一元二次方程,我们只需要先把对应的二次函数一般式转化成顶点式,再开平方求解:
其中 Δ决定了方程能否顺利完成开平方的运算,被称为根的判别式。
如果 Δ>0 ,那么我们就能顺利开平方,计算出x的两个解,也可以叫两个根。
而如果 Δ<0 ,我们不能对负数开平方,方程在实数范围内无解。
特别地, Δ=0 时,我们说方程的两个解大小一样,叫做重根。
韦达定理的逆定理
如果我们有一元二次方程,可以通过韦达定理求出两个根的和与乘积。
那么反过来,如果我们知道两个根的和与乘积,就可以构造出对应的一元二次方程并求解。
人们思考高次多项式是否和二次多项式之间有某种联系。
对于有n个根的n次有理多项式,一定能因式分解为一堆一次或二次有理多项式的乘积,即一个有理根对应一个一次多项式,一对无理根对应一个二次多项式。
进一步利用复数解决无实根的情况,可以证明,n次多项式一定能因式分解为一堆一次或二次多项式的乘积,即一个实根对应一个一次多项式,一对复根对应一个二次多项式。

一元二次方程的求根公式和韦达定理

一元二次方程ax^2+bx+c=0中,一元二次方程求根公式:两根x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。韦达定理:两根x1,x2有如下关系:x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a。
只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0)。
一元二次方程必须同时满足三个条件:
1、是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。
2、只含有一个未知数。
3、未知数项的最高次数是2。

如何用韦达定理解一元二次方程?

一元二次方程的两个根的公式:
假设一元二次方程 ax2+bx+C=0(a不等于0),方程的两根x1,x2和方程的系数a、b、c就满足:x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
如果两数α和β满足如下关系:α+β=-b/a,α·β=c/a,那么这两个数α和β是方程 ax2+bx+C=0的根。通过韦达定理的逆定理,可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
一元二次方程
一元二次方程的求根公式:x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。
一元二次方程的标准形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。
只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0(a≠0),其中ax叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项。

一元二次方程韦达定理公式

一元二次方程韦达定理公式如下:
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。
通过韦达定理的逆定理,可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系,还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。即:所有根之和为(n-1)次项系数与n次项系数之比的相反数,所有根之积为常数项与n次项系数之比再乘以(-1)n。
韦达定理的历史和意义:
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法,还对n=2、3的情形,建立了方程根与系数之间的关系,现代称之为韦达定理。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在求根的对称函数,讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

如何用韦达定理求一元二次方程的实根?

x1减x2的公式是:x1-x2=±︱√(b2-4ac)︱/a。设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2。(a>0)
解1:由韦达定理:x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-b/a)2-4c/a=(b2-4ac)/a2。x1-x2=±︱√(b2-4ac)︱/a。解2:用公式:x1,x2=【-b±√(b2-4ac)】/2a。则:x1-x2=±︱√(b2-4ac)︱/a。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
定理意义:
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件,韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根,实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合,则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进,它最早系统地引入代数符号,推进了方程论的发展,用字母代替未知数,指出了根与系数之间的关系。
韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础,对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系,韦达定理应用广泛,在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。

韦达定理的公式是什么?

x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
韦达定理的公式为:一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中,设两个根为x1,x2 则X1+X2= -b/aX1·X2=c/a,1/X1+1/X2=(X1+X2)/X1·X2,用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中,若b2-4ac<0 则方程没有实数根,若b2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根,若b2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根。
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2…,Xn我们有右图等式组其中∑是求和,Π是求积。如果二元一次方程在复数集中的根是,那么 由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程在复数集中必有根。
因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。韦达定理在方程论中有着广泛的应用