本文目录一览：
- 1、初中九年级数学教案范文：一元二次方程的应用
- 2、初中数学一元二次方程教案
- 3、高一数学二次函数与一元二次方程教案 二次函数与一元二次方程教案
- 4、关于△的数学一元二次方程教案
- 5、用配方法解一元二次方程 教学设计
- 6、一元二次方程知识点
- 7、一元二次方程的导入
- 8、高中高一数学教案：一元二次不等式的解法
- 9、一元二次公式法
初中九年级数学教案范文：一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
第一课时
一、教学目标
1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系。
3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4．解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。
三、教学过程
1．复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）
2．例题讲解
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a．设较小的奇数为x，则另一奇数为，b．设较小的奇数为，则另一奇数为；c．设较小的奇数为，则另一个奇数。
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。
解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
由得，由得，
答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。
解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
当时，
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。
解法（三） 设较小的奇数为，则另一个奇数为。
据题意，得
整理后，得
解得，，或。
当时，。
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。
3．选出三种方法中最简单的一种。
练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数。
2．三个连续奇数的和是321，求这三个数。
3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。
例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
分析：数与数字的关系是：
两位数十位数字个位数字。
三位数百位数字十位数字个位数字。
解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。
据题意，得，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去）
当时，
答：这个两位数是24。
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。
四、布置作业
教材P42A 1、2
补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。
五、板书设计
探究活动
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
参考答案：
精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000
当时，50+=60，500=400
当时，50+=80，500=200
所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.
初中数学一元二次方程教案
一元二次方程式是初中数学教学的重点内容，教学的顺利进行需要有一个教案。下面我为你整理了初中数学一元二次方程的教案，希望对你有帮助。
设计
学情分析：
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
教学目标
知识技能：
1、 理解一元二次方程的概念.
2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
数学思考：
1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.
2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
解决问题：
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型一元二次方程的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
情感态度：
1、培养学生自主自主学习、探究知识和合作交流的意识.
2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.
教学重点：
一元二次方程的概念及一般形式.
教学难点：
1、由实际问题向数学问题的转化过程.
2、正确识别一元二次方程一般形式中的“项”及“系数”.
教学互动设计：
一、自主学习 感受新知
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少?
【分析】设长方形绿地的宽为x米，依题意列方程为：xx+10=900;
整理得： x2+10x-900=0 ①
【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。
【分析】设这两年的年平均增长率为x，依题列方程为：51+x2=7.2;
整理得： 5 x2+10x-2.2=0 ②
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?
【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 x-1队各赛1场，全场比赛共场，依题意列方程得：;
整理得： x2-x-56=0 ③
设计意图：在现实生活中发现并提出简单的问题，吸引学生的注意力，激发学生自主学习的兴趣和积极性。 同时通过解决实际问题引入一元二次方程的概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。
二、自主交流 探究新知
【探究】1上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 填 “整式”“分式”等;
2方程整理后含有 一 个未知数;
3按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。
【归纳】
1、一元二次方程的定义
等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数一元，并且求知数的最高次数是 2 二次的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2+bx+c=0a≠0
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
【强调】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
设计意图：由于学生已熟练掌握了整式、分式、一元一次方程等概念，所以从未知数的个数及最高次数提问，引导学生归纳共同点是符合学生的认知基础的。学生的自主观察、比较、归纳是活动有效的保证，教学中应当让学生充分的探究和交流。同时，在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。
【对应练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程?哪些不是?为什么?
1x3-2x2+5=0; 2x2=1;
35x2-2x-=x2-2x+; 42x+12=3x+1;
5x2-2x=x2+1; 6ax2+bx+c=0
设计意图：此问题采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。其目的是为了及时巩固一元二次方程的概念，同时让学生知道判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。
三、自主应用 巩固新知
【例1】 已知方程a-3x|a-1|-2x+5=0，当 a=-1 时，此方程是一元二次方程，当a=0，2或3 时，此方程是一元一次方程。
设计意图：通过例1的学习，一是使学生进一步巩固一元二次方程的概念，并注意其最基本的条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0;二是使学生了解一元二次方程与一元一次方程的联络与区别。在填第一个空时要让学生注意a值的取舍，填第二个空时要注意引导学生进行分类讨论。
【例2】将方程3xx-1=5x+2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0a≠0.因此，方程3xx-1=5x+2必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.
解：去括号，得：
3x2-3x=5x+10
移项合并同类项，得：
3x2-8x-10=0
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。
设计意图：通过例2的学习，一是使学生进一步掌握一元二次方程的一般形式，并注意强调二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号;二是使学生进一步了解方程的变形过程。
四、自主总结 拓展新知
本节课你学了什么知识?从中得到了什么启示?
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
设计意图：引导学生回顾本节课的学习内容，加强知识的形成。
五、自主检测 反馈新知
1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤
2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为xx+10=200，化为一般形式为x2+10x-200=0。
3、方程m-2x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= -2 。
4、将方程x+12+x-2x+2=1化成一元二次方程的一般形式为 2x2+2x-4=0 ，其中二次项是 2x2 ，二次项系数是 2 ，一次项是 2x ，一次项系数是 2 ，常数项是 -4 。
设计意图：随堂检测学生对新知识的掌握情况，及时了解反馈和调整后续教学内容与教法。
六、课后作业
教科书第28页 1 2 5 6 7
初中一元二次方程教学理念与反思
本节内容是九年级数学第二章的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0a≠0和二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项，是典型的概念教学课。
概念教学总是遵循这样的规律：引入概念、形成概念、巩固概念、运用概念和深化概念，在设计教学中也是遵循这一规律，通过学习、交流、应用、总结、检测这五个环节来完成教学任务。首先通过三个问题让学生建立一元二次方程顺利引入到新课;然后通过交流探究归纳出一元二次方程的概念，使学生体会到学习一元二次方程的必要性，探讨一元二次方程的一般形式及相关概念，并学会利用方程解决实际问题，从而获得本课的新知识;再次是通过两个例题达到巩固、运用概念的作用;最后通过总结与检测来深化学生所学知识，并运用到实际问题中去，使学生熟练掌握所学知识。
教学过程中，强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探究的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新能力。
高一数学二次函数与一元二次方程教案 二次函数与一元二次方程教案
高一数学二次函数与一元二次方程教案
知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。
（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。
能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。 情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入
等式ax 2+bx +c =0(a ≠0)是关于x 的一元二次方程，关系式y =ax 2+bx +c (a ≠0)则是关于自变量x 的二次函数。今天我们将进一步研究它们之间的关系。 二、新授 观察思考：
1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如
①方程x -2x -3=0与函数y =x 2-2x -3；
2
②方程x -2x +1=0与函数y =x 2-2x +1；
2
③方程x 2-2x +3=0与函数y =x 2-2x +3。
研讨探究
问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系 ？ 探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。 ⑴以①为例（幻灯片）
结论：一元二次方程x -2x -3=0的判别式?＞0 ?一元二次方程x -2x -3=0有两个
不相等的实数根?对应的二次函数y =x 2-2x -3的图象与x 轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。
（2）再研究②③，能得类似的结论吗？
22
结论：一元二次方程x -2x +1=0判别式?=0一元二次方程x -2x +1=0?有两
22
等根?对应的二次函数y =x -2x +1的图象与x 轴有唯一的交点为（1，0）。
22
一元二次方程判别式x -2x +3=0?﹤0 ?一元二次方程x -2x +3=0
2
方程无实数根?对应的二次函数y =x 2-2x +3的图象与x 轴没有交点。
联想发散
2
2、一元二次方程ax +bx +c =0（
a ＞0）根的个数及其判别式与二次函数
y =ax 2+bx +c （a ＞0）图象与x 轴的位置之间有什么联系？）
思考：当二次函数y =ax 2+bx +c （a ﹤0）时，是否也有类似的结论呢？ 探究点二：函数的零点
一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的的实数根就是二次函数y =ax 2+bx +c 的值为零时自变量的x 的值，也就是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标，因
2
此一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)的的实数根也称为二次函数
y =ax 2+bx +c (a ≠0)的零点。
一般地，对于函数y =f (x ) ，把使f (x ) =0的实数叫做函数y =f (x ) 的零点。 函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系：
函数y =f (x ) 的零点?方程f (x ) =0实数根?函数y =f (x ) 的图象与x 轴的交点横坐标。
探究点三：函数的零点的求解与判定
练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况：
2
①方程x -2x -3=0与函数y =x -2x -3； 2
②方程x -2x +1=0与函数y =x 2-2x +1； 22
③方程x -2x +3=0与函数y =x -2x +3
x
2
注:(1)函数的零点是数，不是一个点。 （2）并不是所有函数都有零点。
例1、 求证：一元二次函数 y =2x +3x +7有两个零点 小结：函数零点的求解与判断
①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并
利用函数的性质找出零点．
例2 如图（幻灯片）是一个二次函数y =f (x ) 的图象。 ⑴写出这个二次函数的零点； ⑵写出这个二次函数的解析式；
⑶试比较f (-4) f (-1) ，f (0)f (2)与0的大小关系。
2
解：⑴由图象可知此函数的零点是：x 1=–3，x 2=1。
⑵由⑴可设f (x ) =a (x +3)(x -1) ∵f (-1) =4∴a =1 ∴f (x ) =-(x +3)(x -1) 。
即这个二次函数的解析式为f (x ) =-x 2-2x +3。 ⑶∵f (-4) =-5, f (-1) =4, f (0)=3, f (2)=-5， ∴f (-4) f (-1) =-20﹤0，f (0)f (2)=-15﹤0。
设问1:已知二次函数f(x)的图象，判断f(-2)、f(0)、f(4)、f(6)与0的大小；如果
开口向下呢？
设问2:如果二次函数y ＝f(x)的零点是－1和5，如图3，试判断f(-2)f(0)、f(4)f(6)
与0的大小。
设问3:如果不知道二次函数y ＝f(x)的零点，但是有f(-2)f(0)
得出什么样的结论？你能否画出它的大致图像？根据图像你能够得到什么样的式子？（幻灯片）
结论：如果二次函数y=f(x)对于实数m,n,m
得f(x0)=0,即函数在区间(m,n)上有一个零点.
2
2
不求a 、b 、c 的值，可以判断方程ax +bx +c =0的两根所在的区间是（）
(A )(-3, -1)和(-1,1) (B ) (-3, -1)和(2,4) (C ) (-1,1)和(1,2) (D ) (-∞, -3)和(4, +∞)
三、课堂小结
◆函数零点与方程根的联系；
◆一元二次方程根的分布与函数图象之间的关系及处理方法； ◆本节课运用了哪些数学思想方法.
四、作业 课本 P81习题1、2。
备用：若方程2ax 2-x -1=0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是（B ）
(A )a ﹤
-1
(B )a ﹥1 (C )
-1
﹤a ﹤1 (D )0≤a ＜1
解：设f (x ) =2ax 2-x -1
由题意得：f (0)f (1)＜0 ∴(-1)(2a -1-1) ＜0解得a ﹥1 ∴选B
关于△的数学一元二次方程教案
学习目标1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程学习重、难点重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”学习过程：一、情境创设1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。二、探索活动上述问题可用方程解决：问题1中可设宽为x米，则可列方程： x（x+10）= 900问题2中可设这两年的平均增长率为x，则可列方程： 5（1＋x）2 = 7.2问题3中可设这个正方形的连长为x，则可列方程： 2x2 = 15问题4中可设较小的一个数为x，则可列方程： x（x＋3）= 10观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax2＋bx＋c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫二次项系数和一次项系数。三、例题教学例 1 根据题意，列出方程：（1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。（答案：设这两年图书馆的年平均增长率是x，根据题意，得1·（1＋x）2=1.44）（2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。（答案：设这个正方形的连长是x厘米，根据题意，得x·（x＋10）= 600）例 2 判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：⑴ 2（x2－1）= 3y ⑵ ⑶（x－3）2= （x＋5）2 ⑷ mx2＋3x－2 = 0⑸ （a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a = 0例 3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：⑴ 2（x2－1）= 3 x ⑵ 3（x－3）2=（x＋2）2＋7四、课堂练习P81 练习 1、2五、课堂小结引导学生总结：1、一元二次方程定义的三要素。2、一元二次方程的一般形式及二次项系数不能为零。
当△大于0时，方程有两个实数解当△=0时，方程有两个相等的实数解当△小于0时，方程无实数解（有虚数解）△=b的平方-4ac
想要讲课，自己先了解了。了解了，然后上课推那个东西是怎么来的，有什么用。。一节课时间就到了。。
实际问题与一元二次方程教案 教学内容
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题.
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题.
重难点关键
1.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2.难点与关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
(一)通过上节课的学习,大家学到了哪些知识和方法?
(二)上一节,我们学习了解决"平均增长(下降)率问题",现在,我们要学习解决"面积、体积问题。
1.直角三角形的面积公式是什么?一般三角形的面积公式是什么呢?
2.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么?
3.梯形的面积公式是什么?
4.菱形的面积公式是什么?
5.平行四边形的面积公式是什么?
6.圆的面积公式是什么?
(学生口答,老师点评)
二、探索新知
现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题.
例1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少?
(2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完?
分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,渠底为x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建模.
解:(1)设渠深为xm
则渠底为(x+0.4)m,上口宽为(x+2)m
依题意,得: (x+2+x+0.4)x=1.6
整理,得:5x2+6x-8=0
解得:x1= =0.8m,x2=-2(舍)
∴上口宽为2.8m,渠底为1.2m.
(2) =25天
答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道.
学生活动:例2.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
思考: (1)本体中有哪些数量关系?
(2)正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解?
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?
老师点评:依据题意知:中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比=9:7,由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7,设上、下边衬的宽均为9xcm,则左、右边衬的宽均为7xcm,依题意,得:中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm.
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 ,则中央矩形的面积是封面面积的.
所以(27-18x)(21-14x)= ×27×21
整理,得:16x2-48x+9=0
解方程,得:x= ,
x1≈2.8cm,x2≈0.2
所以:9x1=25.2cm(舍去),9x2=1.8cm,7x2=1.4cm
因此,上下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm.
分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm。依题意得
解方程,得:
故上下边衬的宽度为:
左右边衬的宽度为:
思考:对比几种方法各有什么特点?
四、应用拓展
例3某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
练习 如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少?
解法一: 设道路的宽为x,我们利用"图形经过移动,它的面积大小不会改变"的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路)则可列方程:(20-x)(32-2x)=500 整理,得:x2-36x+70=0
解法二:20×32-2×20x-32x+2x2=500
例4.如图(a)、(b)所示,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟,使S△PBQ=8cm2.
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6cm2.(友情提示:过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则: )
分析:(1)设经过x秒钟,使S△PBQ=8cm2,那么AP=x,PB=6-x,QB=2x,由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型.
(2)设经过y秒钟,这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2.因为AB=6,BC=8,由勾股定理得:AC=10,又由于PA=y,CP=(14-y),CQ=(2y-8),又由友情提示,便可得到DQ,那么根据三角形的面积公式即可建模.
解:(1)设x秒,点P在AB上,点Q在BC上,且使△PBQ的面积为8cm2.
则: (6-x)·2x=8
解得:x1=2,x2=4
∴经过2秒,点P到离A点1×2=2cm处,点Q离B点2×2=4cm处,经过4秒,点P到离A点1×4=4cm处,点Q离B点2×4=8cm处,所以它们都符合要求.
(2)设y秒后点P移到BC上,且有CP=(14-y)cm,点Q在CA上移动,且使CQ=(2y-8)cm,过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则有
∵AB=6,BC=8
∴由勾股定理,得:AC= =10
∴DQ=
则: (14-y)· =12.6
整理,得:y2-18y+77=0
解得:y1=7,y2=11
即经过7秒,点P在BC上距C点7cm处(CP=14-y=7),点Q在CA上距C点6cm处(CQ=2y-8=6),使△PCD的面积为12.6cm2.
经过11秒,点P在BC上距C点3cm处,点Q在CA上距C点14cm>10,
∴点Q已超过CA的范围,即此解不存在. ∴本小题只有一解y1=7.
五、归纳小结
本节课应掌握:利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
六、布置作业
1.教材P53 综合运用5、6 拓广探索全部.
2.选用作业设计: 一、选择题
1.直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为( ).
A. B.5 C. D.7
2.有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的3倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是( ).
A.第一块木板长18m,宽9m,第二块木板长16m,宽27m;
B.第一块木板长12m,宽6m,第二块木板长10m,宽18m;
C.第一块木板长9m,宽4.5m,第二块木板长7m,宽13.5m;
D.以上都不对
3.从正方形铁片,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( ).
A.8cm B.64cm C.8cm2 D.64cm2
二、填空题
1.矩形的周长为8 ,面积为1,则矩形的长和宽分别为________.
2.长方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为________.
3.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为_______.
图22-10
三、综合提高题
1.如图所示的一防水坝的横截面(梯形),坝顶宽3m,背水坡度为1:2,迎水坡度为1:1,若坝长30m,完成大坝所用去的土方为4500m2,问水坝的高应是多少?(说明:背水坡度 = ,迎水坡度 )(精确到0.1m)
2.在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?
3.谁能量出道路的宽度:
如图22-10,有矩形地ABCD一块,要在中央修一矩形花辅EFGH,使其面积为这块地面积的一半,且花圃四周道路的宽相等,今无测量工具,只有无刻度的足够长的绳子一条,如何量出道路的宽度?
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题,相信你一定能行
用配方法解一元二次方程 教学设计
用配方法解一元二次方程
【教学目标】：
1.理解配方法的意义；
2.经历探索用配方法解一元二次方程的步骤，体验数学发现的过程，感悟转化思想在解一元二次方程中的运用。
3.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
4.发展思维，提高学生自主学习和合作交流的能力。
【重点难点】：
1.重点 用配方法解简单的数字系数的一元二次方程
2.难点 如何对一元二次方程正确进行配方
【教学过程】：
（一）知识回顾
1.填空：
⑴ x2 + 6x + 9 =﹙ ﹚2
⑵ x2 - 8x + 16 =﹙ ﹚2
⑶ x2+ 10x + ﹙﹚2 =﹙ ﹚2
⑷ x2 - 3x + ﹙﹚2 =﹙ ﹚2
2.解下列方程：
(1)(x+1)2 = 4
(2)12(x-2)2-9= 0
（二）合作探究
你会解方程 x2+2x=5 吗?你会将它变成（x+m）2=n（n为非负数）的形式吗？试试看。如果是方程 x2-4x+3=0呢？
提示：1、结合知识回顾，看给x2+2x再添个什么就可以转化为﹙x + ﹚2的形式了？那右边要怎么样才能使方程左右两边相等呢？
2、对比方程x2+2x=5，有没有什么不同？怎么办呢？
（三）定义
像这样将一个一元二次方程转化为﹙x+m﹚2=n（n为非负数）的形式，从而能够直接开平方求解的方法，叫做配方法。
（四）规范过程
例 解方程 x2 - 4x + 3 = 0
解：移项，得
X2 - 4x = -3
方程左边配方，得
x2 - 2?x?2 + 22 = -3 + 22
即 ﹙x - 2﹚2 = 1
所以 x – 2 = ±1
得 x1= 3， x2 =1
（五）用配方法解一元二次方程的步骤:
? 移项 ：把常数项移到方程的右边
? 配方： 依据二次项和一次项配常数项（即方程两边都加上一次项系数的绝对值的一半的平方）
? 整理： 将上式写成﹙ ﹚2 =a的形式
? 开方 ：根据平方根意义,方程两边开平方
? 求解 ：解两个一元一次方程
? 定解 ：写出原方程的解.
【随堂练习】：
（一）用配方法解下列方程：
⑴ x2 - 6x – 7 = 0
（2） x2 + 8x – 2 = 0
(3) x2 - 5x – 6 = 0
(二)勇攀高峰
方程3x2 - 12x + 6 = 0能用配方法解吗?若能，请求解；若不能，请说明理由。
提示：与上题相比，有什么不同？能否变成二次项系数是1的一元二次方程呢？
（三）比一比，看谁争第一
用配方法解下列方程：
⑴ x2 - 3x – 4 = 0
⑵ 3x2 -1= 6x
（一）课后感悟
? 通过本节课的学习，你都有那些收获？
? 这节课的重、难点是什么？有哪些是你需要注意的？
（二）作业布置
1、教科书31页，习题2（3）、4（4）（5）（6）
2、选做题：用配方法解方程 2x2 -3x+1=0
3、思考：学校要组织一次篮球比赛，每两个队之间只进行一次比赛，如果一共要安排18场比赛，组织者需要安排多少个队参加比赛？
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点如下：
1、一元二次方程的基本形式：ax^2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）。
2、一元二次方程的解法：可以通过因式分解、公式法、配方法等多种方法求解。
3、一元二次方程的根的判别式：Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
4、一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有两个实数根x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。
5、一元二次方程的应用：一元二次方程可以用于解决各种实际问题，如计算面积、体积、利润、增长率等问题。
一元二次方程发展简史：
通过分析古巴比伦泥板上的代数问题，可以发现，在公元前2250年古巴比伦人就已经掌握了与求解一元二次方程相关的代数学知识，并将之应用于解决有关矩形面积和边的问题。相关的算法可以追溯到乌尔第三王朝。
在发现于卡呼恩的两份古埃及纸草书上也出现了用试位法求解二次方程的问题。公元前300年前后，活跃于古希腊文化中心亚历山大的数学家欧几里得所著的《几何原本》中卷II命题5、命题6以及卷VI命题12、命题13的内容相当于二次方程的几何解。
继欧几里得之后，亚历山大数学发展第二次高潮“白银时代”的代表人物丢番图发表了《算术》。该书出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题。这足以说明丢番图熟练掌握了二次方程的求根公式，但仍限于正有理根。
一元二次方程的导入
一元二次方程的导入比较常见的是情境导入。
问题:“坡耕地退耕还林还草”是国家为了解决西部地区水土流失生态问题、帮助广大农民脱贫致富的一项战略措施，某村村长为带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动，率先示范2002年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包了30亩耕地的还林还草及管理任务，而实际完成的亩数比承包数增加的百分率为x，并保持这一增长不变。
2003年村长完成了36亩坡耕地还林还草任务，求增长率是多少？
该村有50户人家，驴均地村长2003年完成的亩数为准，国家按每亩耕地500斤粮食给予补助，则国家将对该村投入补助粮食多少万斤？
一元二次方程含义：
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
1、是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
2、只含有一个未知数。
3、未知数项的最高次数是2。
高中高一数学教案：一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法
教学目标
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；
（3）了解简单的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；
（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；
（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；
（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．
教学重点：一元二次不等式的解法；
教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．
教与学过程设计
第一课时
Ⅰ．设置情境
问题：
①解方程
②作函数 的图像
③解不等式
【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？
【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式 的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。
通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用
在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？
Ⅱ．探索与研究
我们现在就结合不等式 的求解来试一试。（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出 的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。）
【答】方程 的解集为
不等式 的解集为
【置疑】哪位同学还能写出 的解法？（请一程度差的同学回答）
【答】不等式 的解集为
我们通过二次函数 的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题 的解集，还求出了 的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。
下面我们再对一般的一元二次不等式 与 来进行讨论。为简便起见，暂只考虑 的情形。请同学们思考下列问题：
如果相应的一元二次方程 分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数 的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）
【答】二次函数 的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。
现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）
【答】 的解集依次是
的解集依次是
它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数 的图像。
课本第19页上的例1．例2．例3．它们均是求解二次项系数 的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。
（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。）
Ⅲ．演练反馈
1．解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
2．若代数式 的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 。
3．解不等式
（1） （2）
参考答案：
1．（1） ；（2） ；（3） ；（4）R
2．
3．（1）
（2）当 或 时， ，当 时，
当 或 时， 。
Ⅳ．总结提炼
这节课我们学习了二次项系数 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。
（五）、课时作业
（P20．练习等3、4两题）
（六）、板书设计
第二课时
Ⅰ．设置情境
（通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。）
上节课我们只讨论了二次项系数 的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数 的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？
Ⅱ．探索研究
（学生议论纷纷．有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，……．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解．）
生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数 的一元二次不等式的解集．
生乙：我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了．
师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误．而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4．
（待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍．）
[知识运用与解题研究]
由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为 的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求
解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式．（调两位程度中等的学生演板）
（1） （2）
（分别为课本P21习题1．5中1大题（2）、（4）两小题．教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题．）
训练二 可化为一元一次不等式组来求解的不等式．
目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如 （或 ）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本P20上关于不等式 求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题．）
【答】因为满足不等式组 或 的x都能使原不等式 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．
这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式．（调三位程度各异的学生演板．教师巡视，重点关注程度较差的学生）．
（1） ［P20练习中第1大题］
（2） ［P20练习中第1大题］
（3） ［P20练习中第2大题］
（老师扼要讲评三位同学的解答．尤其要注意纠正表述方面存在的问题．然后讲解P21例5）．
例5 解不等式
因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解 （或 ）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。
解：（略）
现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。
（等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。）
[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。
（通过多媒体或其他载体给出下列各题）
1．不等式 与 的解集相同此说法对吗？为什么[补充]
2．解下列不等式：
（1） ［课本P22第8大题（2）小题］
（2） ［补充］
（3） ［课本P43第4大题（1）小题］
（4） ［课本P43第5大题（1）小题］
（5） ［补充］
（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）
参考答案：
1．不对。同 时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。
2．（1）
（2）原不等式可化为： ，即
解集为 。
（3）原不等式可化为
解集为
（4）原不等式可化为 或
解集为
（5）原不等式可化为： 或 解集为
Ⅲ．总结提炼
这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。
（五）布置作业
（P22．2（2）、（4）；4；5；6。）
（六）板书设计
一元二次公式法
一元二次公式法如下：
1、先判断△=b2-4ac，若△<0原方程无实根；
2、若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；
3、若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。
一、释义：
一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的多项式方程。 一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
二、成立条件：
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；
③未知数项的最高次数是2。
求解方法：
一、开平方法：
1）形如或的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
2）如果方程化成的形式，那么可得。
3）如果方程能化成的形式，那么，进而得出方程的根。
二、配方法：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解的方法。
1、用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
2、配方法的理论依据是完全平方公式。
3、配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
