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一元二次方程因式分解法,一元二次方程因式分解方法

admin admin 发表于2024-02-10 12:15:05 浏览15 评论0

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一元二次方程的因式分解法

方法分类
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法、分组分解法和十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式轮换对称多项式法、余数定理法、求根公式法、换元法、长除法、除法等。
提公因式法
几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守。
要变号，变形看正负。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式
公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3．
其他公式：(1)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2。
待定系数法
因式分解法解一元二次方程的口诀：一移，二分，三转化，四再求根容易得。步骤：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).公式法:a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)。十字相乘法:1ax2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

一元二次方程的因式分解法

一元二次方程式因式分解法如下：
将方程化为ax^2+bx+ c=0的形式，寻找两个一次因式，使得它们的乘积为ax^2+，将ax^2+bx分解为两个一次因式的乘积，例如a（x-t）（x-u），将a（x-t）（x-u）代入原方程，得到新的方程（x-t）（x-u）=-c/a，解这个新方程，即可得到原方程的解。
例：解方程x^2-6x+5=0，方程化为标准形式：1x^2+-6x+5=0，观察二次项和常数项，可以发现一次因式为x-1和x-5，因此，将二次项分解为（x-1）和（x-5）的乘积，即1（x-1）（x-5）=1x^2-6x+5。
将上式代入原方程，得到新方程1x^2-（6）x+5=5。化简得到（x-1）（x-5）=-1，解这个方程，得到x1=1，x2=5，所以，原方程的解为x1=1，x2=5。
因式分解法的特点：
1、本质是将方程的左边分解为两个一次因式的乘积
因式分解法的本质是将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的乘积，从而将二次方程转化为一元一次方程，通过求解一次方程得出原方程的解。这种方法的优点在于，可以将复杂的问题简化，把二次方程化为一元一次方程，降低了问题的难度。
2、适合某些特定类型的方程
因式分解法并非适用于所有的一元二次方程，它只适合于某些特定类型的方程。例如，形如ax^2+bx+c=0的方程，如果能够找到两个一次因式x-t和 x-u，那么原方程的解就是t和 u。
这种类型的方程比较简单，因式分解法比较适用。但是对于其他类型的方程，如ax^2+bx+c=0这种类型的方程，只能用求根公式或配方法求解。
3、解方程过程中需要寻找两个一次因式
在因式分解法中，需要寻找两个一次因式，它们的乘积等于原方程的左边。这个过程可能需要一定的技巧和经验。
对于一些系数比较简单的方程，可以直接看出两个一次因式；而对于一些系数比较复杂的方程，可能需要一定的计算和尝试。此外，在寻找两个一次因式时，需要注意它们的乘积必须等于原方程的左边，否则会导致错误的结果。

一元二次方程的解法因式分解法

一元二次方程的解法因式分解法有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法为通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
1、直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
2、配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，先将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。
3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。
4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

用因式分解法解一元二次方程

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
一、将方程右边化为(0) 。
二、方程左边分解为(两个 )因式的乘积。
三、令每个一次式分别为( 0)得到两个一元一次方程。
四、两个一元一次方程的解，就是所求一元二次方程的解。
复合应用题解题思路：是由两个或两个以上相互联系的简单应用题组合而成的。
1、理解题意，就是弄清应用题中的已知条件和要求问题。
2、分析数量关系，就是分析已知数量与未知数数量，已知数量与未知数数量间的关系，找到解题途径，确定先算什么，再算什么，最好算什么。
3、列式解答，就是根据分析，列出算式并计算出来。
4、验算并给出答案，就是检验解答过程中是否合理，结果是否正确，与原题的条件是否相符，最后写出答案。
因式分解法的四种方法：提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的。
由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式（x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

一元二次方程的因式解法

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤可以用口诀来概括：
一移，二分，三转化，四再求根容易得。
2.具体步骤：
将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次式的积；令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根。
3.在使用因式分解法解一元二次方程时：
A 利用因式分解法解一元二次方程时，等式右边必须为0；
B方程中如果有括号不要急于去掉括号，要先观察方程是否可采用因式分解法；
C因式分解法有提公因式法、公式法、十字相乘法；
D注意不能将方程两边同时约去相同的因式或未知数。
4.示范：
十字相乘
说明：因式分解有三种方法，首先考虑提公因式法——无公因式；其次考虑公式法——既不是完全平方式，也不是平方差；最后考虑十字相乘法。
5.因式分解法的模型：
通过因式分解把方程变为
M?N＝0的形式，
则M＝0或者N＝0.
最后再求解！

一元二次方程因式分解方法

一元二次方程可以通过因式分解的方法求解。
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
因式分解的方法：
对于一元二次方程ax2+bx+c=0，可以通过因式分解的方法求解。具体方法如下：
1.对方程两边同时除以a，得到x2+b'x+c'/a=0，其中b'=b/a，c'=c/a。
2.将x2+b'x+c'/a表示成(x+m)(x+n)的形式，其中m、n为待定系数。
3.将(x+m)(x+n)展开，得到x2+(m+n)x+mn=0。
4.比较系数，得到m+n=b'，mn=c'/a，即m和n是c'/a的两个因数，且它们的和为b'。
5.求出m和n的值，代入(x+m)(x+n)=0，得到方程的解。
拓展知识：
1.当一元二次方程的判别式b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
2.因式分解的方法也可以用于解决其他类型的方程，如一元三次方程、二元二次方程等。
3.因式分解的方法还可以用于简化多项式的运算，如多项式的乘法、除法、化简等。
将方程x2+5x+6=0表示成(x+m)(x+n)的形式，得到x2+(m+n)x+mn=0。比较系数，得到m+n=5，mn=6。因为m和n是6的两个因数，且它们的和为5，所以m=2，n=3。因此，方程的解为x=-2或x=-3。
综上所述，一元二次方程可以通过因式分解的方法求解。因式分解的方法可以应用于其他类型的方程和多项式的运算中，是代数学中的基本方法之一。

一元二次方程因式分解

一元二次方程因式分解，详细介绍如下：
一、一元二次方程因式分解：
一元二次方程可以通过因式分解的方法来进行解答，因式分解的基本概念是因式分解是将一个多项式表示为一系列乘积的形式。在解一元二次方程时，我们可以通过将方程因式分解为两个一次因式的乘积，来求得方程的解。
二、一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数，且a≠0。我们的目标是将这个方程进行因式分解，找到一系列乘积的形式。
三、因式分解的步骤：
首先需要观察方程的系数a、b、c的值，判断是否可以进行因式分解，接着寻找两个因式，使得它们的乘积等于方程的左边，即(ax+m)(x+n)=0的公式。
通过展开乘积将方程转化为一个新的一元二次方程，例如ax^2+(am+bn)x+mn=0的公式，最后解这个新的一元二次方程，从而得到方程的解集。
四、特殊情况的考虑：
在进行因式分解时，我们需要考虑一些特殊情况，首先当方程的系数a为1时，可以直接进行因式分解。其次当方程的系数b和c为0时，方程的解为x=0。最后当方程的系数a、b、c都为0时，方程有无数个解。
五、总结：
通过因式分解的方法，我们可以解一元二次方程，需要观察方程的系数，找到合适的因式，并解新的一元二次方程，最终得到方程的解集。在进行因式分解时，需要考虑特殊情况，如系数为1或0或全为0的情况。因式分解是解一元二次方程的重要方法之一，简化计算和找到方程的解集。

一元二次方程如何进行因式分解

提取公因式法；
分组分解法；
十字相乘法----a(x-p)(x-q)=0；
配方法----a(x-m)2+n=0；
公式法：x={-b±√(b2-4ac)}/(2a)
配方法是万能的，但是十字相乘法是最快的。
解一元二次方程 解：整理得 ，
即 ，∴ 。
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
扩展资料：
分解一般步骤
1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
参考资料：百度百科-因式分解

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程，首先我们要先知道它的定义。
一般地，当一元二次方程的右边为0，而方程左边可以分解成两个一次因式的乘积时，就可以用解两个一元一次方程的方法来求一元二次方程的解，这种方法称为因式分解法。
那么，它的解题步骤是：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
1.移项→将方程的右边化为零之后；
2.化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；
3.转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；
4.求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 。
以上就是因式分解法解一元二次方程的方法。